Persamaan Trigonometri

Hai kali ini saya akan membagikan tugas matematika yang telah saya buat. semoga bermanfaat yaa :D

1.      Buktikanlah identitas tan θ. Cos θ = sin θ

Jawab :

tan θ. Cos θ = sin θ/cos θ . cos θ (coretlah cos θ nya) maka menjadi ;

tan θ. Cos θ = sin θ (Terbukti)

2.      Buktikanlah identitas sec θ  – tan θ . sin θ = cos θ

Jawab :

Karena ruas kiri lebih kompleks, maka kita ambil ruas kiri yang kemudian akan kita jadikan seperti ruas kanan. Lihat ini :

sec θ  – tan θ . sin θ = 1/cos θ – sin θ/cos θ . sin θ

sec θ  – tan θ . sin θ = 1/cos θ – sin² θ/cos θ

sec θ  – tan θ . sin θ = 1– sin² θ/cos θ

berdasarkan identitas sin² θ + cos² θ = 1 maka cos² θ = 1 – sin² θ  sehingga;

sec θ  – tan θ . sin θ = cos² θ /cos θ

sec θ  – tan θ . sin θ = cos θ (Terbukti).

3.      buktikanlah identitas dari cot² x/1 + csc x = csc x – 1

Jawab :

Dari identitas kita ketahui bahwa 1 + cot² θ = csc² θ maka cot² θ = csc² θ – 1 rubah saja θ dengan x, sehingga;

cot² x/1 + csc x = csc² x – 1/1 + csc x

cot² x/1 + csc x = (csc x + 1) (csc x – 1)/1 + csc x (Coret 1 + csc x) menjadi ;

cot² x/1 + csc x = csc x – 1 (Terbukti)

4.      Buktikanlah identitas 1 – tan⁴x = 2 sec²x – sec⁴x

Jawab :

Kita ambil ruas kanan yang terlihat lebih kompleks, maka;

2 sec²x – sec⁴x = sec²x (2 – sec²x )

Dkitahui bahwa  1 + tan² θ = sec² x maka;

2 sec²x – sec⁴x = (1 + tan²x) [2 – (1 + tan²x)]

2 sec²x – sec⁴x = (1 + tan²x) (2 – 1 – tan²x)

2 sec²x – sec⁴x = (1 + tan²x) (1 – tan²x)

2 sec²x – sec⁴x = (1 – tan²x + tan²x – tan⁴x) (coret tan²x) sehingga;

2 sec²x – sec⁴x = (1 – tan⁴x) (Terbukti)

  5.      Tentukan HP (Himpunan Penyelesaian) dari 2 cos x – √3 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360°

Jawab :
2 cos x = √3
cos x = ½ √3
cos x = cos 30°
x = 30° + k.360°              atau                        x = (180 – 30)° + k.360°
k = 0 → x = 30°                                                 x = 150° + k.360°
k = 1 → x = 390° (tidak memenuhi)         k = 0 → x = 150°
Sehingga HP = {30°, 150°} 

6.      Tentukan HP dari tan (60 – ½ x)° = cot (x + 120)° untuk 0 ≤ x ≤ 360°

Jawab :
tan (60 – ½ x)° = tan (90 – (x + 120))°
tan (60 – ½ x)° = tan (–x – 30)°
60° – ½ x = –x – 30° + k.180°
x – ½ x = –30° – 60° + k.180°
½ x = –90° + k.180°
x = –180° + k.360°
k = 1 → x = 180°
Sehingga  HP = {180°}
 
      7. Tentukan HP (Himpunan Penyelesaian) dari 2 cos x – √3 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360°

Jawab :

2 cos x = √3

cos x = ½ √3

cos x = cos 30°

x = 30° + k.360°              atau                        x = (180 – 30)° + k.360°

k = 0 → x = 30°                                                 x = 150° + k.360°

k = 1 → x = 390° (tidak memenuhi)         k = 0 → x = 150°

Jadi HP = {30°, 150°}

          8. Tentukan HP dari tan (60 – ½ x)° = cot (x + 120)° untuk 0 ≤ x ≤ 360°

Jawab :

tan (60 – ½ x)° = tan (90 – (x + 120))°

tan (60 – ½ x)° = tan (–x – 30)°

60° – ½ x = –x – 30° + k.180°

x – ½ x = –30° – 60° + k.180°

½ x = –90° + k.180°

x = –180° + k.360°

k = 1 → x = 180°

Jadi HP = {180°}

Trigonmetri

1. Diketahui sudut lancip A dengan cos 2A = 1/3. Nilai sin A =…

Penyelesaian:
cos 2A = 1/3
1 – 2sin^2 A = 1/3
-2sin^2 A = 1/3 – 1
-2sin^2 A = -2/3
sin^2 A = 2/6
sin A = V(2/6)
sin A = 1/3 (V3)

2. Diketahui tan A = p, maka cos 2A = …
Penyelesaian:
Karena tan A = p, maka cos A = 1/ V(1+p^2) , sin A = p/ V(1+p^2)
cos 2A = 2cos A^2 – 1
= 2 { 1/ V(1+p^2)}^2 -1
= 2 { 1/ (1+p^2)} -1
= (2-1-p^2) / (1+p^2)
cos 2A = (1-p^2) / (1+p^2)

3.Himpunan penyelesaian persamaan:  sin 4x – cos 2x = 0, untuk 0° < x < 360°
adalah …

Penyelesaian:

sin 4x – cos 2x = 0, ( ingat sin 4x = 2 sin 2x cos 2x)
2 sin 2x cos 2x – cos 2x = 0
cos 2x ( 2 sin 2x – 1 ) = 0
cos 2x = 0 atau 2 sin 2x = 1
untuk cos 2x = 0, maka 2x = 90° + k.360° , → x = 45° + k.180°, x = 45°, 225° atau 2x = 270° + k.360°,→ x = 135° + k.180°, x = 135°,315°
untuk 2 sin 2x = 1, sin 2x =½, maka 2x = 30° + k.360°, → x = 15°+k.180°, x = 15°, 195° atau 2x =150°+k.360°, maka x = 75°+k.180°, x = 75°, 255°.
Jadi HP ={15°,45°,75°,135°,195°,225°,255°,315°}

4.Himpunan penyelesaian persamaan:
cos 2x° + 7 sin x° + 3 = 0, untuk 0 < x < 360
adalah …

Penyelesaian :

cos 2x° + 7 sin x° + 3 = 0, (ingat cos 2x = 1 – 2 sin²x)
1 – 2 sin²x + 7 sin x + 3 = 0
2 sin²x – 7 sin x – 4 = 0
(2 sin x + 1)(sin x – 4) = 0
2 sin x = -1 atau sin x = 4 ( tdk ada)
sin x = -½, maka x = 210, 330.
Jadi HP = {210, 330}.

5.Himpunan penyelesaian dari persamaan : cos 2xº + 3 sin xº = 2, untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah …

Penyelesaian :

cos 2xº + 3 sin xº = 2
1- 2 sin ²x° + 3 sin x° – 2 = 0
2 sin²x° – 3 sin x° + 1 = 0
(2 sin x° -1 )(sin x° – 1)=0
sin x°=½ atau sin x° = 1
untuk sin x°=½, maka x = 30, 150
untuk sin x° = 1, maka x = 90
Jadi HP = {30, 90, 150}

6. Pada suatu segitiga siku-siku ABC berlaku cos A cos B = ½ , maka cos (A-B) sama dengan….

            Penyelesaian:

cos A cos B = ½

Ayo mengingat! Dalam segitiga siku-siku, pasti ada salah satu sudutnya yang 90°.Jika cos A cos B ≠ 0, maka sudut A dan B tidak ada yang siku-siku atau 90°, karena cos 90° = 0.

Jadi sudut A dan B tidak ada yang bersudut 90°. Jumlah sudut-sudut pada segitiga adalah 180°. Karena sudut siku-siku adalah sudut C, maka berlaku:

A+B = 180°-C

= 180°- 90°

= 90°

Jadi cos (A+B)= 0.

cos (A-B) = cosA cosB + sinA sinB

= ½ +sinA sin B

= ½ + {cosA cosB – cos (A+B)}

= ½ + ( ½ – 0 )

cos (A-B) = 1

            7. sin 3p + sin p = …

            Penyelesaian:

sin 3p + sin p = sin(2p+p) + sin p

= (sin 2p cos p + cos 2p sin p) + sin p

= {(2sin p.cos p)cos p + (2cos^2 p-1)sin p} + sin p

= (2sin p.cos^2 p) + (2cos^2 p.sin p – sin p) + sin p

= 2sin p.cos^2 p + 2cos^2 p.sin p – sin p + sin p

sin 3p + sin p = 4 sin p cos^2 p

            8. Bentuk cos 6x – cos 2x dapat diubah menjadi bentuk perkalian …..

            Penyelesaian:

cos 6x – cos 2x = -2 sin ½ (6x+2x) sin ½ (6x-2x)

= -2 sin 4x.sin 2x

= -2 sin 2(2x).sin 2x

= -2 (2sin 2x.cos 2x)sin 2x

= -2 (2sin^2 2x.cos 2x)

cos 6x – cos 2x = -4sin^2 2x.cos 2x

            9. Jika tan x = a , maka sin 2x sama dengan…

            Penyelesaian:

tan x = a , maka sin x = a / V(a^2 +1) dan cos x = 1 / V(a^2+1)

sin 2x = 2sin x cos x

= 2. a / V(a^2 +1) . 1 / V(a^2+1)

sin 2x = 2a / (a^2 + 1)

            10. Jika dalam segitiga ABC, menyatakan besar sudut-sudutnya, dan sin^2 + sin^2 = sin^2 , maka adalah..

            Penyelesaian:

sin^2 + sin^2 = sin^2

a + b = y

a + b + y = 180°

maka (a + b) = 90°

y = 90°

Ini merupakan tugas matematika saya tentang Trigonometri. Sebelumnya mphon maaf jika ada kesalahan maklum baru awal heheh :D. Terimakasih telah mengunjungi blog saya :D