Persamaan Trigonometri

Hai kali ini saya akan membagikan tugas matematika yang telah saya buat. semoga bermanfaat yaa :D

1.      Buktikanlah identitas tan θ. Cos θ = sin θ

Jawab :

tan θ. Cos θ = sin θ/cos θ . cos θ (coretlah cos θ nya) maka menjadi ;

tan θ. Cos θ = sin θ (Terbukti)

2.      Buktikanlah identitas sec θ  – tan θ . sin θ = cos θ

Jawab :

Karena ruas kiri lebih kompleks, maka kita ambil ruas kiri yang kemudian akan kita jadikan seperti ruas kanan. Lihat ini :

sec θ  – tan θ . sin θ = 1/cos θ – sin θ/cos θ . sin θ

sec θ  – tan θ . sin θ = 1/cos θ – sin² θ/cos θ

sec θ  – tan θ . sin θ = 1– sin² θ/cos θ

berdasarkan identitas sin² θ + cos² θ = 1 maka cos² θ = 1 – sin² θ  sehingga;

sec θ  – tan θ . sin θ = cos² θ /cos θ

sec θ  – tan θ . sin θ = cos θ (Terbukti).

3.      buktikanlah identitas dari cot² x/1 + csc x = csc x – 1

Jawab :

Dari identitas kita ketahui bahwa 1 + cot² θ = csc² θ maka cot² θ = csc² θ – 1 rubah saja θ dengan x, sehingga;

cot² x/1 + csc x = csc² x – 1/1 + csc x

cot² x/1 + csc x = (csc x + 1) (csc x – 1)/1 + csc x (Coret 1 + csc x) menjadi ;

cot² x/1 + csc x = csc x – 1 (Terbukti)

4.      Buktikanlah identitas 1 – tan⁴x = 2 sec²x – sec⁴x

Jawab :

Kita ambil ruas kanan yang terlihat lebih kompleks, maka;

2 sec²x – sec⁴x = sec²x (2 – sec²x )

Dkitahui bahwa  1 + tan² θ = sec² x maka;

2 sec²x – sec⁴x = (1 + tan²x) [2 – (1 + tan²x)]

2 sec²x – sec⁴x = (1 + tan²x) (2 – 1 – tan²x)

2 sec²x – sec⁴x = (1 + tan²x) (1 – tan²x)

2 sec²x – sec⁴x = (1 – tan²x + tan²x – tan⁴x) (coret tan²x) sehingga;

2 sec²x – sec⁴x = (1 – tan⁴x) (Terbukti)

  5.      Tentukan HP (Himpunan Penyelesaian) dari 2 cos x – √3 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360°

Jawab :
2 cos x = √3
cos x = ½ √3
cos x = cos 30°
x = 30° + k.360°              atau                        x = (180 – 30)° + k.360°
k = 0 → x = 30°                                                 x = 150° + k.360°
k = 1 → x = 390° (tidak memenuhi)         k = 0 → x = 150°
Sehingga HP = {30°, 150°} 

6.      Tentukan HP dari tan (60 – ½ x)° = cot (x + 120)° untuk 0 ≤ x ≤ 360°

Jawab :
tan (60 – ½ x)° = tan (90 – (x + 120))°
tan (60 – ½ x)° = tan (–x – 30)°
60° – ½ x = –x – 30° + k.180°
x – ½ x = –30° – 60° + k.180°
½ x = –90° + k.180°
x = –180° + k.360°
k = 1 → x = 180°
Sehingga  HP = {180°}
 
      7. Tentukan HP (Himpunan Penyelesaian) dari 2 cos x – √3 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360°

Jawab :

2 cos x = √3

cos x = ½ √3

cos x = cos 30°

x = 30° + k.360°              atau                        x = (180 – 30)° + k.360°

k = 0 → x = 30°                                                 x = 150° + k.360°

k = 1 → x = 390° (tidak memenuhi)         k = 0 → x = 150°

Jadi HP = {30°, 150°}

          8. Tentukan HP dari tan (60 – ½ x)° = cot (x + 120)° untuk 0 ≤ x ≤ 360°

Jawab :

tan (60 – ½ x)° = tan (90 – (x + 120))°

tan (60 – ½ x)° = tan (–x – 30)°

60° – ½ x = –x – 30° + k.180°

x – ½ x = –30° – 60° + k.180°

½ x = –90° + k.180°

x = –180° + k.360°

k = 1 → x = 180°

Jadi HP = {180°}